Много студенти, изучаващи висша математика през по-възрастните си години, вероятно се питат: къде се прилагат диференциални уравнения (DE) на практика? Като правило този въпрос не се обсъжда в лекции и учителите незабавно преминават към решаване на DE, без да обясняват на студентите прилагането на диференциални уравнения в реалния живот. Ще се опитаме да запълним тази празнина.
Нека започнем с дефиниране на диференциално уравнение. И така, диференциално уравнение е уравнение, което свързва стойността на производната на функция със самата функция, стойностите на независимата променлива и някои числа (параметри).
Най-често срещаната област, в която се прилагат диференциални уравнения, е математическото описание на природните явления. Те се използват и при решаване на проблеми, при които е невъзможно да се установи пряка връзка между някои ценности, описващи процес. Такива проблеми възникват в биологията, физиката, икономиката.
В биологията:
Първият смислен математически модел, описващ биологичните общности, е моделът на Лотка - Волтера. Той описва популация от два взаимодействащи вида. Първият от тях, наречен хищници, при липса на втория умира по закона x ′ = –ax (a> 0), а вторият - плячка - при липса на хищници се умножава неограничено в съответствие със закона на Малтус. Взаимодействието на тези два типа се моделира по следния начин. Жертвите измират със скорост, равна на броя на срещите на хищници и плячка, което в този модел се приема пропорционално на размера на двете популации, т.е. равно на dxy (d> 0). Следователно y ′ = от - dxy. Хищниците се размножават със скорост, пропорционална на броя на изядената плячка: x ′ = –ax + cxy (c> 0). Система от уравнения
x ′ = –ax + cxy, (1)
y ′ = от - dxy, (2)
хищникът-плячка, описващ такава популация, се нарича система Лотка-Волтера (или модел).
Във физиката:
Вторият закон на Нютон може да бъде написан под формата на диференциално уравнение
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), където m е масата на тялото, x е неговата координата, F (x, t) е силата, действаща върху тялото с координата x в момент t. Неговото решение е траекторията на тялото под действието на определената сила.
В икономиката:
Модел на естествен прираст на продукцията
Ще приемем, че някои продукти се продават на фиксирана цена P. Нека Q (t) означава количеството продукти, продадени в момент t; тогава към този момент от времето доходът е равен на PQ (t). Нека част от посочения доход се изразходва за инвестиции в производството на продадени продукти, т.е.
I (t) = mPQ (t), (1)
където m е инвестиционният процент - постоянен брой и 0
